Estimativa, Lua e a potência de 10 – 1ª Digressão

Alguns meses atrás eu assisti à esse vídeo do Veritassium onde o Derek pediu para as pessoas dizerem aonde elas achavam que a Lua (bola de tênis) estava em relação à Terra (bola de basquete), considerando a escala.
Todos (exceto uma pessoa) colocaram a Lua muito mais perto do que ela realmente está.

Foi só depois de alguns dias que eu me vi pensando:
“Será que eu saberia fazer essa estimativa?
E se a Terra fosse de outro tamanho?
E mais importante, qual a distância entre a Terra e a Lua?”

Pensando sobre isso, eu imaginei que o mais interessante seria achar a relação entre a distância Terra-Lua e o raio, diâmetro ou circunferência da Terra. Sabendo essa distância, nós conseguimos responder à pergunta independente do tamanho do objeto que representa a Terra. Mas como podemos achar essa relação? Como calculá-la?

O método mais fácil, sem dúvida, seria usando a internet. Acesse o Google, Yahoo ou qualquer outro site com um smartphone e pronto. Mas esse é o método chato. E pouco impressionante também. É bem mais interessante se nós pudessemos calcular usando apenas nossos cérebros e algumas informações. E eis como podemos fazer essa estimativa apenas com alguns fatos e a potência de 10:

Primeiro, vamos ver quais dados precisamos. Precisamos da distância entre a Terra e a Lua e pelo menos o raio da Terra (podemos calcular o diâmetro e a circunferência a com ele).
Segundo, tenha em mente que estamos fazendo uma estimativa. Iremos arredondar valores para cima e para baixo, preocupando apenas com a ordem de magnitude e não com o valor exato.

Cérebro à obra!

Para estimar a distância entre a Terra e a Lua, usaremos o fato que a luz viaja essa distância aproximadamente 40 vezes em um minuto.
Isso significa que a luz gasta 1,5 segundo para vencer a distância uma vez. E quão rápido é a luz? Bem, todos sabemos que a velocidade da luz é de aproximadamente 3×10^8 m/s. Assim, em 1,5 segundos, a luz viaja 4.5×10^8 m. Guarde esse valor (e não se esqueça da unidade!)

Agora precisamos encontrar o tamanho da Terra. Em um outro video, aprendemos que, em média, uma pessoa anda o suficiente para dar 3 voltas na Terra durante sua vida. Certo, mas essa pessoa é de um país rico ou pobre? Bom, não sabemos, mas podemos considerar que a média mundial é de 80 anos de vida. Também sabemos uma pessoa passa, em média, 1/3 da sua vida dormindo. 1/3 de 80 é quase 30 então temos que essa pessoa passa 50 anos acordada. Mas espere um pouco! Isso não significa que uma pessoa ande sempre que está acordada! Temos que considerar que quando mais novos, andamos mais, mas distâncias menores porque nossos passos são mais curtos e conforme crescemos, aumentamos as distâncias, mas passamos a ter menos tempo porque temos que ficar horas e horas sentados na escola e, depois, mais um punhado de horas no trabalho. Então, quanto desses 50 anos gastamos andando?

Para fazer essa estimativa, vamos considerar que gastamos 8 horas dormindo, 8 horas no trabalho/escola/estudando, o que nos deixa com 8 horas para as outras atividade. “Outras atividades” inclui locomoção até o trabalho/escola, necessidades diárias além de dormir (comer, chamados da natureza, higiene) e lazer. Se somarmos todo o tempo que andamos em casa, no escritório, nas pequenas caminhadas até a padaria da esquina e se considerarmos que todos nós andamos 1 hora por dia para nos mantermos saudáveis, estimamos que andamos por 2 horas todos os dias.

Então, 2 horas por dia durante um ano significa que andamos por (365×2)÷24. Nem sempre temos uma calculadora em mãos então vamos tentar facilitar a conta. Sabemos que 365×2 é 730. Também sabemos que 24×30 é 720, então vamos aproximar 365×2 para 720 e dizer que andamos por 30 dias em um ano. Então uma pessoa média anda 30 dias por ano durante 50 anos, totalizando 1500 dias. Isso equivale a (1500÷365) anos ou aproximadamente 1500÷360=150÷36=75÷18=37.5÷9. Bom, 9×4 é 36 então vamos assumir que 1500÷365 dá mais ou menos 4 (dá 4,109….).

Agora nós temos a distância (3 voltas na Terra) e o tempo (4 anos), mas não temos a velocidade! Bom, por experiência própria, a velocidade média que andamos é de 5km/h. Mas espere! Temos o tempo dado em anos e a velocidade dada em quilômetros por hora!
Sem problemas, podemos calcular quantas horas tem em 4 anos! 24 horas por dia, 365 dias por ano. Quanto dá 365×24?

De novo, pode ser que não tenhamos uma calculadora disponível então vamos simplificar e dizer que 24×365 é quase 20×370 (lembre-se, queremos ficar na mesma ordem de magnitude, não saber o número exato!). Não é difícil fazer essa conta porque 20×370 é 37×2×100 que dá 7400 (só para comparar, 365×24 dá 8760, que está na mesma ordem de magnitude de 7400, que é X×10^3 com X entre 1 e 9.9).

Então sabemos que um ano tem aproximadamente 7400 horas então 4 anos será aproximadamente 29600 horas. Andar por 29600 horas a 5km/h significa viajar 150000km (que é 30000×5), que é uma estimativa aproximada de 3 voltas na Terra. Dividindo o valor por 3 temos 50000km.

Ótimo! Agora nós temos a circunferência da Terra em quilômetros (5×10^4km) e a distância até a Lua em metros 4.5×10^8 m)! Vamos converter a distância para quilômetros e achar 4.5×10^5km.

Agora é hora de achar a relação entre a distância e a circunferência!

(4.5×10^5)÷(5×10^4)=45÷5=9

Assim descobrimos que precisamos colocar o objeto representando a Lua a uma distância de 9 vezes a circunferência do objeto representando a Terra.

E qual a acurácia dessa estimativa? Vamos usar a internet e comparar os valores!

Primeiro, a distância entre a Terra e a Lua varia então vamos usar a média. De acordo com o Google, a distância é de 384,400 km ou 3.84×10^5km. Nós estimamos 4.5×10^5km! Estamos na mesma ordem de magnitude!
Também sabemos que a Terra não é uma esfera perfeita. Mas como estamos apenas aproximando, podemos ignorar esse fato. De acordo com o NGA, a circunferência da Terra é de 24,907 milhas, o que é igual a 40083.9 km ou 4×10^4 km. Nós estimamos 5×10^4! Novamente acertamos a ordem de magnitude!
E qual a razão com esse valores? É (3.84×10^5)÷(4×10^4)=9.6
Bem perto! Acertamos a ordem de magnitude da razão também!

Se quisermos a relação entre a distância e o raio, basta pegarmos a circunferência e calcular o raio. Sabemos que a circunferência é 2πr, onde π=3,14 e r é o raio. Considerando a circunferênficia, temos que o raio será r=C÷(2π). Temos que C=5×10^4 e dividindo por 6, encontramos r=0.8×10^4 km. Calculando a razão encontramos:

(4.5×10^5)÷(0.8×10^4)=56

Usando os valores da literatura, a razão é de mais ou menos 60!

Bom o suficiente, não?

E como e por que chegamos tão perto fazendo tantos arredondamentos e suposições? Simples!

Todos os arredondamentos para cima e para baixo se compensam, fazendo com que o resultado seja perto o suficiente e na mesma ordem de magnitude! Mas lembre-se de que as estimativas precisam estar condizentes com a realidade! Uma estimativa que poderíamos fazer errado é por quantos anos uma pessoa anda. Se considerássemos 10 anos, o resultado final estaria em uma ordem de magnitude acima! Mas o resultado seria bem melhor do que o que mostra esta imagem:

Compare a distância mostrada com a nossa estimativa.

As fases da Lua e a distância entre a Terra e a Lua, tirado da Wikipedia

One thought on “Estimativa, Lua e a potência de 10 – 1ª Digressão

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